解决方案:环是带有第二个称之为乘法运算的加法阿贝尔群两种运算¸¸&ced..

环是带有第二个称之为乘法运算的加法阿贝尔群。两种运算之间的联系是分配律。采用第二章的结果，这一章很流畅。这是因为理想也是正规子群，环同态 也是群同态。我们不证明多项式环 是唯一分解整环，尽管用手头上的材料很容易证明。也不涉及素理想和极大理想，因为这些概念对于线性代数的展开不 是必要的。这些概念放在了附录里。由于布尔环在逻辑和计算机科学中的重要性， 本章包括了关于布尔环的一节。 假设R 是加法阿贝尔群， （联结加法和乘法的分配率） 有乘法恒等元，i.e.存在元素 。（乘法交换性质）定义 如果 3)满足，R说是一个环。如果另外第 4)被满足，R 称为 一个交换环。 数学中的简便交换环是整数环Z、有理数环Q，实数环R 和复数环C 个变量的多项式环。现在设R是任意一 矩阵的类。在下一章，矩阵的加法与乘法将被定义。在这些运算下， 是不是交换环，即使R是交换的。 下两个定理证明环乘法的性质如同你所希望的，留作习题。 定理 回忆：由于R是加法交换群，它在Z 上有纯量乘法（第页）。这个纯量乘法 可写在右边或着左边，i.e. 。下一个定理证明它与环乘法关系密切。定理 nmmb na ，也就是，用n作为纯量乘法与 用做环乘法是一样的。

当然，n 可能是0；尽管 ―――――――――单位――――――――――定义 不能是单位。1永远是单位。如果a是单位，则 的所有单位构成一个乘法群，记为 是一个单位，它一定有两边逆。只需有左逆和右逆，如同下面的定理所证明的。 定理 推论：逆是唯一的。 为了定义这两类环，我们首先考虑零因子概念。定义 叫做零因子，如果它不是零且存在非零元b ，使得 注意如果 是一个单位，它不可能是零因子。定理 是单位。定义 整环是一个交换环，如果 不是零因子。域是交换环使得，如果 是单位。换句话说，R是域，如果它是交换环，且它的非零因 子构成乘法群。 定理 一个域是整环。一个有限整环是域。 证明 域是整环，因为单位不是零因子。假设R 是有限整环辅助卡盟，且 bcad bd ac 。证明C是交换环且是一个域。注意 整数的概念在数学里是基本的。它导致一个美妙的理论，正象下面定理中所见到的。然而。基本理论不是完备的，直到环的乘积被定义（见第 国剩余定理）。由第页我们知道 是一个加法阿贝尔群。定理 成为一个交换环。证明 由于 bkal abkn ，乘法是定义良好的。环公理容易验证。 定理 的一个单位。证明 是等价的。回忆：如果b是整数， 3)的等价的。

因为每个都是在说存在整数b使得 推论如果 是素数。证明 我们已经知道1)和2)是等价的，因为 是有限的。假设3)是真的，则由前面的定理， 均是单位，因此2)是真的。假设 3)是不真的。则 ab 是零，从而1)是不真的。习题 对于 不是。证明 少有两个解（见第页上的第一个定理）。 的子环。子环没有起到类似子群的作用。这个用由理想起到。理想不是子环（除非它是整个环）。注意如果S 可能是R的一个单位但不是S 中的单位。注意Z 没有真子环。因此在环论以及群论中占有特殊地位。 ――――――――理想和商环―――――――― 环论中的理想扮演着类似正规子群在群论中的作用。 定义 的子集I是一个左（右、双边）理想，倘若它是加法群R 的子群，如 。词“理想”意思是“双边理想”。当然，如果R 是交换的。每个右或左理想均是理想。 定理 的右（左，双边）理想（见 如果aR 是右理想。因此，如果R是交换的，aR是理想，叫做主理 想。因此证明布尔环是可换环，Z 的每个子环是主理想，因为它形如nZ 5)如果R是交换环， 含有1。习题 不含有真理想。下面的定理恰是一个观察，但它在某个意义下环论的开始。 定理 。由于I是加法群的正规子群， 是一个加法阿贝尔群。

陪集的乘法定义为 ，这是定义良好的，使得 成为环。证明 IIIb aI ab 。因此，乘法是定义良好的，环公理容易验证。乘法恒等元是 观察如果 nZ 上的环结构与前面定义的一样。―――――――――――――――同态―――――――――― 定义 。（在左边，乘法在R内，而在右边， 乘法在R 这里列出环同态的基本性质。其中大部分在第页由群论的定理列出来了。 定理 是一个定义良好的环同态，使下图交换因此，在商环定义同态与在分子上定义同态而将分母映射为 证明我们知道所有这些均与群中的结论是平行的。仅需验证 是环同态，这是显然的。 习题找出一个环R ，它有真理想I 及元素b 中是一个单位。习题 证明如果u 的一个单位，则u的共轭是R 上的一个同构。亦即， ，这是一个环同态且是同构。习题 上逐点定义加法与乘法。这意味着如果 是环同态。习题 现在考虑情形 函数的类，i.e. 证明A是环。注意，大部分这方面的工作已经在前面的习题中做过了。仅需证明A是环 的子环。―――――――多项式环――――――――― 在微积分中，我们考虑多项式（实）函数， 。多项式的和与积还是多项式。易见多项式还是类构成一个交换环。在纯代数背景下我们 能形式地做同一样的事情。

定义 是交换环。x是变量或“符号”，多项式环 。如果最高项 简单地写成ab，为方便如同经常作的那样。 定理如果R 证明假设 deg(fg de ，因此fg 不是0。 令一个途径证明这个定理是看最低项而不是最高项。令 fg的第一个非零项。 定理（除法算式）假设R 是一个交换环， 的次数大于等于1。它的最高项系数在R 中是单位。（如果R 证明：这个定理叙述了多项式h 的存在性与唯一性。我们给出存在行证明的梗概，唯一性留作习题。设 直到余式的次数比m小。对g的次数进行归纳证明。设 的任多项式，结果成立。设g是次数为n 的多项式。现在存在多项式 deg(。由归纳法， deg(。由方程 。得证定理。注意： 如果 整除g。注意 整除g有余数 是次数为n的至少有 一根在R 中的多项式。则g 至多有n 和在R中没有根的唯一多项式h 使得 ，则我们说“g的所有根属于R 。”如果 ，我们说“g的所有根 证明唯一性证明是容易的，所以我们证明存在性。对 ，定理显然是对的。归纳假设 ，对次数小于n的任意多项式，定理是对的。现在，设g 的次数比n小，由归纳假设，定理得证。 注意 如果 是代数闭域。这叫代数的基本定理，本文只直接采用这个结果而没有证明它。

习题 有奇次数，则它有一个实根。并证明如果 ，在这种情况下，两个根均为实数。 定义 使得tT 注意Z是PID,任一个域是PID。 定理 含有的多项式中的最小次数，则I 含有形如 的唯一多项式，它具有性质 。因此是PID。进一步，I 的每个陪集可唯一地写成 证明这是使用除法算式的一个好的习题。注意，这类似于Z 的子群由一 个元素生成的证明（见第 是交换环C的一个子环， 的最小子环。这个映射h 叫做赋值映射。定理说， 中两个多项式的和的赋值与这两个多项式在C 中的赋值的和是一样的。 上的环同态。习题 ，这个h是满的。证明 。这个考察复数的一个好方法,i.e. 为得到C ，添加x 习题证明，如果R 的单位恰是R的单位。因此，如果F 是唯一分解整环，甚至不定义唯一分解整环。下一个定义和定理是仅仅包含在参考材料中的，不应在这个截断学习。 定义 的相伴多项式，如果存在一个单位 使得uf 是非常数多项式且整除 的相伴多项式。这里我们不展开 的理论。然后，展开是容易的，因为它对应第一章中Z的理论。除法算式对应着欧几里得算法。既约多项式对应着素整数，次数还是对 应着绝对值函数。一个区别是， 中的单位的非零常数，而Z的单位恰是 因此，f的相伴多项式是所有cf ，其中 ，而一个整数n的相伴数是 里是基本定理（这个理论在附录中以欧几里得环的专题完满第展开讨论）定理 是次数大于等于1的多项式，则 分解成既约多项式的乘积，这个分解在相差因子顺序和相伴多项式意义下是唯一的。

下 列是等价的 定义现在设 是“变量”。如果实数域 叫做单项式。定义 中的元素是任有限多个单项式的和。定理 如果F是域，每个 不是主理想。如果R 是交换环， 叫做单项式。次序在这里没有关系。定义 的元素是有限大纲单项式的和。这就给出了一个交换环，有一个典型同构 。利用此及其对n用归纳 法容易证明下列定理。 定理 如果R 的单位。习题 。利用“模核的整环同构于象”的事实证明 。亦即，如果y添加到 环的积恰如同群的积（用起来很方便）定理 同态。设R是环，在从{ ,其中函数序列 是环同态。证明 完满已经知道 是群同态（间第页）。注意{ 成立。最后，由于乘法是逐项定义的， 是环同态。习题 的每个理想均是这样的形式。习题 如果T 的一个元素e叫做幂等的倘若 。元素0和1均是幂等元，称之为平凡幂等元。设T 是交换环， 定义。这是一个环同构。这表明交换环T分裂成两个环的积当 个映射是满的，和为mnZ。因此， 作为群与环是同构的。下一个定理是这个结论的经典推广（见第 页的习题３）。 定理 的核是nZ，其中 作为环是同构的，因此，作为群也是同构的。 证明 完满希望证明 习题4）习题 证明，如果a 是整数，p 是素数，则在 （费尔马小定理）。

利用这个与中国剩余定理证明，如果b 是正整数，它与 最后一位的数码相同。 ――――――――特征―――――― 下列定理仅是一个观察，但在环论中表明，整数环是“基石”。 定理 如果R 是一个环证明布尔环是可换环，存在一个且仅一个环同态 给出。由1生成的R的子群是R 同构的子环。定义 给出，使得 nZ 的非负整数n叫做R 的特征。因此， 的所有非零元有相同的秩（对于秩的定义见第 是一个整环。如果R有特征0，则每个非零元素 有无限秩。如果R 有有限秩n na，因此 习题证明：如果F 是特征为 含有有理数域Q作为子环。也就是，单同态 ――――――布尔环――――――――这节在本书中什么地方也不用。然而，它适合在这里，并包含在参考材料里。 定义 是交换的。证明： baab 的每个元素是幂等的，因此， 章的语言，I是素理想当且仅当I 是极大理想当且仅当 的子集的非空类。考虑类R可能拥有的下列性质。 定理如果 4)满足。在这个情形下，R叫做集的布尔 代数。 证明 ，所以3)是真的。由于R 是非空的，它含有某个元素a 属于R，从而 4)是真的。 定理 是集合的布尔代数，在R上定义加法为 在这个加法下，R是阿贝尔群且 这个乘法下，R成为布尔环且 习题1）与4)。

）习题 是布尔环，一个经典的定理是：存在一个布尔环同构于R的集合的 布尔代数。所以，假设是一个集合的布尔代数，它是一个按上面定义的加法和乘 法的布尔环，现在定义 。这些运算是结合的，交换的，具有恒等元，每个关于另外一个是分配的（满足分配律）。带有这两个运算（与 补一道），R 叫做布尔代数。R 在上面的和运算下不是群。无论如何，一个 经典的事实是：如果你有布尔环（代数），你就有布尔代数（环）。布尔代数的好 处是，它关于运算和是对称的。布尔环的好处是，你可用丰富的交换环理论 描绘它。