证明布尔环是可换环 知识归纳:抽象代数习题

〈{1，2，3，4}，5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？ 给定代数结构〈I，+，〉，定义I上的二元关系R 是N3上的等价关系。若R 关于 +3 具有代换性 关于3也一定具有代换性质。求出N3 价关系S，使其关于3具有代换性质，但关于 +3 不具有代 换性质。 在以下给出的N上的关系R a－b是偶数。 10整除a－b。 中不存在有左逆元的左零元。 a0a0 试证明每个有限半群至少有一个幂等元素。 定理 －1推论 且=1，则ab的阶为mn。 定理 有限群〈G，*〉的每个元素的阶为有限的，并 且不超过 均有a2 当对任意a，bG，均有(ab)2 a2b2。 均有(ab)3 ba5。证明abba。 证明有限多个群的积代数结构仍是群。10. 和b1ab的阶相同； ab和ba 的阶相同； abc，bca和cab 的阶相同。 11. 有限群中阶大于2 的元素个数必为偶数。 12. 为素数。13. 〈Nm，＋m〉中某元素的阶。14. 求下列群中每个元素的 b1H。定理 关于G的二元运算封闭，则HG。 定理 G2的群同态，ei 为Gi 阶相同。习题 设H1和H2 的子群，证明H1H2也是G 的非空子集，并且H中每个元素的阶都 有限，则H 的子群的充分必要条件是H关于G 的乘法封 均为群G1到G2 的群同态，令 证明H是G1 的子群。

HK和KH 的子群。aHa1称为H 的共轭子群。 10. 称为H的正规化子。 11. 的同构。证明G的所有自 同构的集合关于函数的合成运算构成群。 12. 的子群，aG。证明存在最小正整数m 使amH，且m 的因子。13. 的子群。证明：如果amH 求下列置换：1a) 21b) 42341234 43 52631c) 1123456e)2165344 1a)61b) 21c) 824341425455576 567 736789 35164. 除么元外，每个元素的阶都是 的四阶群称为克莱因四元群。 找出克莱因四元群的所有子群； 指出下列群是否为循环群？若是循环群，则给出其一个生成元： 的阶为素数p且a(b)。证明 任一无限群必有无穷多个子群。10. 证明循环群的子 群必为循环群。 11. 证明无限循环群恰有两个生成元。 12. 无限循环群的子群除{e}外均为无限循环群。 13. 设存在代数结构〈G，〉到〈G′，*〉的满同态，如果〈G，〉 是循环群，则〈G′，*〉也是循环群。 14. 是无限循环群，G′是任意循环群。证明存在G到G′的满同态。

定理 如果H 是有限群G 的子群，则＃H 整除 ＃G，并且 推论1有限群G 的每个元素的阶整除G 推论2 关于H的陪集关系R 是群G1到G2 的群同态，集合 eG2}称为 的同态核，记为Ker f，其中 eG2 定理设f：G1 G2i) Ker G１ii) {eG1}定理 是群〈G1，〉到〈G2 ，*〉的群同态， 则商群〈G1 Kerf，〉同构于〈 f［G１］，* 这只是定理 定理 iii)HK iv)如果KG kh。定理 HK/H。定理 为素数，证明pn阶群必有p 阶子群。 证明指数为2的子群必为不变子群。 求〈N24，+24〉的6阶子群H 及N24 关于H 的商群。 是否必为G的不变子群？证明 或举出反例。 是两个不同的素数，G为pq 换群。证明G是循环群。 证明存在从m阶循环群G1 是循环群G的子群，证明 也是循环群。11. 的不变子群，且＃H=2。证明HC 的子群，且G只有一个阶为n 的子群。证明H 的不变子群。13. 的子群，如果H 的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则H 的不变子群。14. 为pq阶的群。证明G 阶子群必为不变子群。16. 的不变子群。并且若G/H 是循环群，则G 是交换群。

17. 20.证明阶数为p2 换群，其中p为素数。 21. 的阶是有限的}。证明习题 外不含阶为有限的元素。22. 必为交换群。23. -11g1g2g1g2H。24. 的元素。25. axa－1 的自同构映射，称之为G的内自同构。G 自同构的全体构成G的自同构群的不变子群。 aK。27. 证明除零 同态之外，不存在〈Q，+〉到〈I，+〉的群同态映射。 28. 的子群。试证：如果A 的自同构。30. 任意xG，必有 xmH。 31. 证明在同构的意义下只有两 32.证明：在同构 的意义下只有两个不同的10 定理若〈R，+，〉是环，则下列条件等价： 定理 有限整环都是域。 定理 体仅有零理想和单位理想。 定理 +，〉的理想。若在R/D上定义二元运算与如下： r1，r2R r1，r2R 是〈R，+，〉的理想。~,~定理 设D1和D2 都是环〈R，+，〉的理想。若D2 D1， 则D1/D2 是R/D2 的理想，并且 /D1例13 为素数，则为〈I，+，〉的极大理想。 定理 是〈R，+，〉的极大理想。例14 为素数。习题 对于乘法来说，每个元素都是幂等元的环称为布尔环。证明以下结论。 Z2和Z2Z2 都是布尔环。

布尔环必为交换环。 也是〈R，+，〉的理想。 若〈R，+证明布尔环是可换环，〉是环，并且〈R，+〉是循环群，则〈R，+，〉是交换环。 上定义运算和如下： 证明〈R，，〉与〈R，+，〉同构。 求出〈N6，+6，6〉，〈N8，+8，8〉，〈N12，+1212〉的所有子环和理想。 D1和D2 是环〈R，+，〉的理想，证明D1 D2也是〈R， +，〉的理想，其中D1 d1D1且d2 D2 证明两个域的积代数结构不可能是域。10. 上二阶方阵的环，A是元素为偶数的所有二阶方 阵组成的集合。证明 找出Zm到Zr 12.找出环〈I，+，〉的 所有自同态，并求每个自同态的核。 13. 有右逆元。证明关于u的下述 条件是等价的： 是左零因子。15. 设环〈R，+，〉的每一个左理想都有 左么元，试证〈R，+，〉的每一个左理想都有么元。 16. 是〈R，+，〉仅有的两个左理想，证明〈R，+，〉是体。17. 之理想。证明： +，〉到〈S，，*〉的环同态，H1和H2 均为R 之子环，且 包含Ker f。证明：若f (H1) 20.含么环不可能与任何不含么元的环同构。 习题 证明x2+1 是GF 是GF(p)上互素的多项式，则它们 在GF 证明：有理数域〈Q，＋，〉的自同构映射只有一个。

是其零元。证明定理 pn 阶域的元素都是多项式xpx 定理有限域的乘法群必为循环群。 定理 设域〈F，＋辅助论坛，〉的特征为p。如果 nai1mi0。第四章 定理 且abaciii） b}，证明〈S，〉也是格。定义 如果集合 上的两个二元运算*和满足交换律、结合律、吸收律，则称代数系统〈L，*。 定理 定义和 定义 定义 －１ii） 定理设〈L，*，〉和〈S，，〉是两个格，其中 的半序关系分别为和′，则L 证明群〈G，〉的不变子群集合是G的子群格的子格， 并证明两个不变子群N 和N2 的最小上界是N1N2 画出24 阶循环群的子群格的图，并证明它同构于 〈S24，D〉。 画出C6和C8 p1p2 时，C2n 的理想。证明： 的理想必为S的子格，但S 的子格不一定是S [A]是不是S′的子格？f[J]是不是S′的理想？ 定义 设〈L，*，〉是格。如果对于任意 定理格〈L，*，〉是模格的充要条件是不含如下形式 的子格： 定理 定理 格〈L，*，〉是分配格的充要条件是：对于任意 定理模格〈L，*，〉是分配格的充要条件是不含如下 形式的子格 10 求出格〈S75，D〉中每个元素的补元。 试证明：在有一个以上元素的格中，不会有元素是它本身的补元。

画出格〈S30，D〉和〈S45 格〈S30，D〉和〈S45，D〉是否是分配格？ 试证明：在有界分配格中，有补元的各元素构成一个子格。 试证明每个分配格都是模式格。10. 设〈L，*，〉是格。证明 11.设〈L，*，〉是分配格，aL。定义：LL x*a。定义：LL为：对于任意xL， xa。证明和是L的两个自同态，并求出[L]和[L]。 12. 的所有自同态的集合，证明E关于函数 合成运算构成独异点。 13. (xa)*b。证明是同态映射。 14. 的覆盖且bc，则bc既是b 的覆盖，也是c 的覆盖。 16. 设〈L，*，〉是分配格，aL。定义L 上的函数f 均为〈L，*，〉到其自身的格同态映射。17. 设〈L，*，〉为分配格，a，bL。设 之间一对互逆的格同构映射。定理 设〈B，*，，′，0，1〉是布尔代数，S 的子布尔代数。定理 证明在任何布尔代数中下述结论成立：11 (ab′)*(bc′)* (ca′) 〉是集合代数，〈B，*，，′，0，1〉是电路代数，定义g：PB 如下： 如果bx g(x)如果bx0证明g 是布尔同态。 。证明g是布尔同态。 设〈A，*，，′，0，1〉是布尔代数。

证明〈A，+，*〉是布尔环，其中 的布尔环。证明〈B，*，，′，0，1〉是布尔代数，其中 是布尔代数S到S′的同态映射，R 的同余关系。证明商代数S/R是布尔代数。 是布尔代数〈S，*，，′，0，1〉到〈S′，，，~，，〉的同态映射，令－1 f[{}]。证明J具有以下性质： J，则abJ。具有以上性质的S 的子集称为S 的理想。 10. 证明J 是布尔代数〈S，*，，′，0，1〉的理想 11.证明二阶布尔代数是域。 11 (ab′)*(bc′)* (ca′) 〉是集合代数，〈B证明布尔环是可换环，*，，′，0，1〉是电路代数，定义g：PB 如下： 如果bx g(x)如果bx0证明g 是布尔同态。 。证明g是布尔同态。 设〈A，*，，′，0，1〉是布尔代数。证明〈A，+，*〉是布尔环，其中 的布尔环。证明〈B，*，，′，0，1〉是布尔代数，其中 是布尔代数S到S′的同态映射，R 的同余关系。证明商代数S/R是布尔代数。 是布尔代数〈S，*，，′，0，1〉到〈S′，，，~，，〉的同态映射，令－1 f[{}]。证明J具有以下性质： J，则abJ。具有以上性质的S 的子集称为S 的理想。 10. 证明J 是布尔代数〈S，*，，′，0，1〉的理想 11.证明二阶布尔代数是域。