辅助角公式例题 专题18 三角恒等变换

辅助角公式例题 专题18 三角恒等变换

专题18 三角恒等变换 【考点预测】知识点一．两角和与差的正余弦与正切①； ②； ③；知识点二．二倍角公式①； ②； ③； 知识点三：降次（幂）公式知识点四：半角公式知识点五．辅助角公式（其中）．【方法技巧与总结】1．两角和与差正切公式变形；．2．降幂公式与升幂公式；．3．其他常用变式．3. 拆分角问题：①；；②；③；④；⑤． 注意 特殊的角也看成已知角，如．【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明题型二：给式求值题型三：给值求值题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角【典例例题】题型一：两角和与差公式的证明例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）(1)试证明差角的余弦公式：；(2)利用公式推导：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析【解析】【分析】在单位圆里面证明，然后根据诱导公式即可证明和，利用正弦余弦和正切的关系即可证明；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.【详解】(1)不妨令.如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点，，.连接.若把扇形绕着点旋转角辅助角公式例题，则点分別与点重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，＝，∴.根据两点间的距离公式，得：，化简得：当时，上式仍然成立.∴，对于任意角有：.(2)①公式的推导：.公式的推导：正切公式的推导：②公式的推导：由①知辅助角公式例题，.公式的推导：由①知，.公式的推导：由①知卡盟，.例2．（2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数；；；.（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.【答案】（1）选第四个式子，；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)选第四个式子，由即可求三角函数式的值；(2)由题意，设一个角为，另一个角为，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值【详解】（1）由第四个式子：（2）证明：【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函

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